가우스-보네 정리

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1. 개요
2. 공식화
3. 조합론적 가우스-보네 정리
4. 다각형에 대한 가우스-보네 정리 (국소적 가우스-보네 정리)
5. 정곡률 곡면의 다각형
6. 여러 가지 경우의 가우스-보네 정리
7. 특수한 경우
- 7.1. 삼각형
- 7.2. 다면체
8. 일반화
9. 응용
참조

1. 개요

가우스-보네 정리는 콤팩트한 2차원 리만 다양체의 가우스 곡률에 대한 적분과 경계의 측지적 곡률 적분을 오일러 지표와 관련짓는 정리이다. 이 정리는 다양한 형태와 일반화를 가지며, 조합론적 가우스-보네 정리, 다각형에 대한 국소적 가우스-보네 정리, 정곡률 곡면의 다각형에 대한 정리 등이 있다. 또한, 짝수 차원 리만 다양체로 일반화된 가우스-보네-첸 정리가 있으며, 특수한 경우로 구면 기하학 및 쌍곡 기하학의 여러 결과들을 포함한다. 이 정리는 다면체의 데카르트의 정리, 체른 정리, 리만-로흐 정리, 아티야-싱거 지표 정리 등 다양한 수학 분야에 응용된다.

2. 공식화

M을 경계가 $\partial M$ 인 콤팩트한 2차원 리만 다양체라고 하자. K를 M의 가우스 곡률, k_g을 M의 측지 곡률이라고 하면, 다음 적분식이 성립하는데 이를 '''가우스-보네 정리'''라고 한다.^[2]^[3]

: $\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M).$

여기서 dA는 곡면의 면적 요소, ds는 경계선의 길이 요소, χ(M)은 M의 오일러 지표이다. 만약 경계가 없는 곡면이라면 좌변의 두 번째 항은 사라지고,

: $\int_M K\;dA = 2\pi\chi(M).$

가 곧바로 성립한다.

경계 $\partial M$ 가 조각적으로 매끄러운 경우, 적분 $\int_{\partial M}k_g\;ds$ 은 경계의 매끄러운 부분에 대한 해당 적분들의 합과 경계의 모서리에서 매끄러운 부분이 회전하는 각도의 합으로 해석한다.

3. 조합론적 가우스-보네 정리

조합론에서도 가우스-보네 정리와 비슷한 형태의 식이 여럿 존재한다. 예를 들어 M을 2차원 유한 준다양체(pseudomanifold)라 하고, χ(M)을 M의 오일러 지표, χ(v)를 꼭짓점 v를 포함하는 삼각형의 수라고 하면, 다음 식이 성립한다.^[5]^[15]

: $\sum_{v\in{\mathrm{int}}{M}}(6-\chi(v))+\sum_{v\in\partial M}(4-\chi(v))=6\chi(M).$

여기서 첫 번째 합은 M의 내부 꼭짓점에 대한 것이고, 두 번째 합은 경계 꼭짓점에 대한 것이며, χ(M)은 M의 오일러 특성이다.

삼각형을 더 높은 차수의 다각형으로 바꾸어도 2차원 유사다양체에 대해서 비슷한 공식을 얻을 수 있다. 예를 들어 n개의 꼭짓점을 가진 다각형의 경우, 위 공식에서 3과 6을 각각 n/(n-2)과 2n/(n-2)로 바꿔야 한다. 예를 들어 사각형의 경우 위 공식에서 3과 6을 각각 2와 4로 바꿔야 한다.

보다 구체적으로, M이 닫힌 2차원 디지털 다양체인 경우, 속(genus)은

: $g = 1 + \frac{M_5 + 2 M_6 - M_3}{8},$

이 된다. 여기서 M_i는 표면에서 각각 i개의 인접한 점을 갖는 표면점의 수를 나타낸다.

4. 다각형에 대한 가우스-보네 정리 (국소적 가우스-보네 정리)

A^영어를 n개의 꼭짓점을 갖는 (방향이 주어진) 다각형에 리만 계량을 넣은 것이라고 하자. 이때 다음이 성립한다.^[4]

: $\int_A K dV + \int_{\partial A}\kappa ds + \sum_{i=1}^n\varepsilon_i= 2\pi$

여기서 K는 A의 단면곡률, dV는 A의 면적 요소, ∂A는 A의 변에 A에서 정해지는 방향을 넣은 것, κ는 ∂A의 곡률(측지곡률), ds는 선의 요소, ε_i는 다각형 A의 i번째 꼭짓점의 외각의 크기이다.

5. 정곡률 곡면의 다각형

를 실수라고 하자. 를 개의 꼭짓점을 갖는 (방향이 주어진) 다각형에 리만 계량을 넣은 것으로, 가 정곡률 를 가지고, 의 각 변이 측지선이라고 하자. 이때 다음이 성립한다. 여기서 는 의 면적이다.^[11]

: $c \cdot \mathrm{area}(A) + \sum_{i=1}^n\varepsilon_i= 2\pi$

단면곡률 가 이라면, 위의 식은 다각형의 외각의 합이 가 된다는 유클리드 기하학의 고전적인 정리와 일치한다. , 의 경우도 각각 구면 기하학(구면 삼각법), 쌍곡 기하학에서 잘 알려진 다각형의 면적 공식과 일치한다.^[4]

6. 여러 가지 경우의 가우스-보네 정리

M은 경계가 $\partial M$ 인 콤팩트한 2차원 리만 다양체라고 하자. K를 M의 가우스 곡률, k_g를 M의 측지적 곡률(geodesic curvature)이라 하면, 다음 적분식이 성립하는데 이를 '''가우스-보네 정리'''라 한다.

: $\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M).$

여기서 dA는 곡면의 면적소, ds는 경계선의 길이 요소, χ(M)은 M의 오일러 지표이다. 만약 경계가 없는 곡면이라면 좌변의 두 번째 항은 사라지고, 다음 식이 곧바로 성립한다.

: $\int_M K\;dA = 2\pi\chi(M).$

조합론에서도 여러 가우스-보네 정리의 유사 형태가 있다. 예로 M을 2차원 유한 준다양체(pseudomanifold), χ(M)을 M의 오일러 지표, χ(v)를 꼭짓점 v를 포함하는 삼각형의 수라 하면 다음 식이 성립한다.

: $\sum_{v\in{\mathrm{int}}{M}}(6-\chi(v))+\sum_{v\in\partial M}(4-\chi(v))=6\chi(M).$

구면(반지름 )에서 잘라낸 북반구를 이라고 하자. 이의 오일러 지표는 1이다. 정리의 좌변에서, 경계가 적도이고 적도는 구면의 측지선이므로 $K=1/R^2$ 이고 $k_g=0$ 이다. 그러면 $\int_MK dA=2\pi$ 이다.

반면에, 반구를 평평하게 하여 원반으로 만들어 보자. 이 변환은 동상사상이므로 오일러 지표는 여전히 1이다. 그러나 정리의 좌변에서, 원주는 평면의 측지선이 아니므로 이제 $K=0$ 이고 $k_g=1/R$ 이다. 그러면 $\int_{\partial M}k_gds=2\pi$ 이다.

마지막으로, 이전의 경우와 동상사상인 구면 팔분원을 생각해 보자. 그러면 $\int_MK dA=\frac{1}{R^2}\frac{4\pi R^2}{8}=\frac{\pi}{2}$ 이다. 이제 경계를 따라 거의 모든 곳에서 $k_g=0$ 인데, 이는 측지선 삼각형이다. 그러나 세 개의 직각 모서리가 있으므로 $\int_{\partial M}k_gds=\frac{3\pi}{2}$ 이다.

가우스-보네 정리는 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $\int_T K = 2\pi - \sum \alpha - \int_{\partial T} \kappa_g,$

여기서 는 측지 삼각형이다. 여기서 위의 "삼각형"은 경계가 세 개의 측지선으로 이루어진 단순 연결 영역으로 정의한다. 그런 다음 그 삼각형의 내부와 삼각형의 조각 경계로 형성된 곡면 에 가우스-보네 정리를 적용할 수 있다.

측지선 경계의 측지 곡률은 0이고, 의 오일러 지표는 1이다.

따라서 측지 삼각형의 회전각의 합은 삼각형 내부의 전체 곡률을 뺀 2와 같다. 모서리에서 회전각은 내각을 뺀 와 같으므로 다음과 같이 다시 말할 수 있다.^[4]

: 측지 삼각형의 내각의 합은 삼각형으로 둘러싸인 전체 곡률에 를 더한 것과 같다: $\sum (\pi - \alpha) = \pi + \int_T K.$

평면(가우스 곡률이 0이고 측지선이 직선인 경우)의 경우, 일반 삼각형의 각의 합에 대한 친숙한 공식을 얻는다. 곡률이 어디든 1인 표준 구면에서는 측지 삼각형의 각의 합이 항상 보다 크다는 것을 알 수 있다.

지난 수 세기 동안 발견된 구면 기하학 및 쌍곡 기하학의 여러 초기 결과들은 가우스-보네 정리의 특수한 경우로 포함되었다.

6. 1. 방향 지정 가능한 콤팩트 2차원 리만 다양체의 경우

M^영어을 콤팩트하고 방향 지정 가능한 C^∞급 2차원 부분 리만 다양체라 하고, 경계 ∂M가 조각적으로 매끄럽다고 하자.

v_1,\ldots,v_n

을 ∂M이 매끄럽지 않은 점이라 하고, ε_i을 v_i에서 ∂M의 외각이라고 하자. 이때 다음이 성립한다.^[11]

:

\int_M K dV + \int_{\partial M}\kappa ds + \sum_{i=1}^n\varepsilon_i = 2\pi \chi(M)

여기서 χ(M)는 M의 오일러 지표이다. K는 M의 단면곡률, dV는 M의 면적 요소, ∂M는 M의 변에 M에서 정해지는 방향을 넣은 것, κ는 ∂M의 곡률(측지곡률), ds는 선소, ε_i는 다각형 M의 i번째 꼭짓점의 외각의 크기이다.

M이 다각형이라면 χ(M)=1이므로, 위 정리는 앞서 설명한 다각형에 대한 가우스-보네 정리의 일반화가 된다.

6. 2. 방향 지정 불가능한 경우

M^영어이 방향지정 불가능하더라도, 면적 요소에 의한 적분

\int dV

대신 방향을 고려하지 않는 면적 요소에 의한 적분

\int |dV|

을 사용함으로써, 가우스-보네 정리를 방향지정 불가능한 곡면에 대해 일반화할 수 있다. M을 콤팩트한 C^∞급 2차원 부분 리만 다양체로, 경계 ∂M가 구분적으로 매끄럽다고 하자.

v_1,\ldots,v_n

을 ∂M이 매끄럽지 않은 점이라고 하고,

\varepsilon_i

를

v_i

에서 ∂M의 외각이라고 할 때, 다음이 성립한다.^[2]

:

\int_M K |dV| + \int_{\partial M}\kappa ds + \sum_{i=1}^n\varepsilon_i=2\pi \chi(M)

임의의 방향지정 불가능한 다양체는 방향지정 가능한 2중 덮어씌우는 공간(orientation covering)을 가지므로, 위의 정리는 앞서 언급한 방향지정 가능한 경우에서 쉽게 유도할 수 있다.

6. 3. ℝ³ 안의 곡면의 경우

ℝ|R^한국어³ 안의 (C^∞ 급) 곡면 M에 ℝ|R^한국어³의 내적에서 정해지는 리만 계량이 있는 경우, 가우스-보네 정리의 기하학적인 의미를 살펴볼 수 있다.

먼저, M이 ℝ|R^한국어³ 내의 곡면인 경우 M의 단면곡률은 가우스 곡률과 일치한다.^[12] 여기서 점 P에서의 곡면 M의 '''가우스 곡률'''은 T_PM의 단위 벡터 e에 대해, M 위의 측지선 exp(te)의 ℝ|R^한국어³에서의 곡률을 κ(e)라 할 때, κ(e)가 최대가 되는 것 κ(e₁)과 최소가 되는 것 κ(e₂)의 곱으로 주어진다.

다음으로 M의 각 점 P에 대해, η_P를 P에서의 M의 단위 법선이라고 하자. 단위 법선은 부호를 붙이는 것으로 두 개 존재하지만,

M \subset \mathbb{R}^3

이 방향지정 가능한 경우에는 η_P가 P에 대해 연속이 되도록 선택할 수 있다.

각 점 P∈M에 대해, 벡터 η_P는 길이 1의 벡터이므로, η_P를 원점 중심의 단위구 S²의 원소로 간주할 수 있다. 이렇게 간주함으로써 정의할 수 있는 사상

:

G~:~P \in M \mapsto \eta_P \in S^2

을 '''가우스 사상''' (^[13], ^[14])이라고 한다.

가우스 사상은 가우스 곡률과 다음과 같은 관계를 만족한다:

가우스 사상

G~:~M \to S^2

가 (사상이 퇴화하지 않은 점에 대해) n : 1의 사상이 될 때, n을 가우스 사상의 '''사상차수'''라고 한다. 위의 정리에서, M에서 가우스 곡률을 적분한 것은, S²의 면적에 사상차수를 곱한 값이 될 것으로 예상된다.

위의 직관은 드 라함 코호몰로지의 일반론으로 정당화할 수 있으며, 다음과 같은 결론이 따른다:

즉, 단면곡률 K의 M 위의 적분은 가우스 사상의 사상차수의 4π배와 같지만, '''가우스-보네 정리는 이 가우스 사상의 사상차수가 M의 오일러 지표의 1/2과 같다는 것을 의미한다'''.

7. 특수한 경우

가우스-보네 정리의 특수한 경우는 지난 수 세기 동안 발견된 구면기하학 및 쌍곡기하학의 여러 초기 결과들을 포함한다.

구면(반지름 R)에서 잘라낸 북반구를 M이라고 하면, 이의 오일러 지표는 1이다. 정리의 좌변에서, 경계가 적도이고 적도는 구면의 측지선이므로 K=1/R²이고 k_g=0이다. 그러면 $\int_MK dA=2\pi$ 이다.

반구를 평평하게 하여 원반으로 만들면, 이 변환은 동상사상이므로 오일러 지표는 여전히 1이다. 그러나 정리의 좌변에서, 원주는 평면의 측지선이 아니므로 이제 K=0이고 k_g=1/R이다. 그러면 $\int_{\partial M}k_gds=2\pi$ 이다.

이전의 경우와 동상사상인 구면 팔분원을 생각하면, $\int_MK dA=\frac{1}{R^2}\frac{4\pi R^2}{8}=\frac{\pi}{2}$ 이다. 경계를 따라 거의 모든 곳에서 k_g=0인데, 이는 측지선 삼각형이다. 그러나 세 개의 직각 모서리가 있으므로 $\int_{\partial M}k_gds=\frac{3\pi}{2}$ 이다.

7. 1. 삼각형

측지 삼각형의 내각의 합은 삼각형으로 둘러싸인 전체 가우스 곡률(K)에 π를 더한 것과 같다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.^[4]

:

\sum (\pi - \alpha) = \pi + \int_T K.

여기서 α는 내각을 의미한다. 평면(가우스 곡률이 0이고 측지선이 직선인 경우)에서는 일반 삼각형의 각의 합에 대한 공식을 얻게 된다. 표준 구면(곡률이 어디에서나 1인 경우)에서는 측지 삼각형의 각의 합이 항상 π보다 크다는 것을 알 수 있다.

구면삼각법과 쌍곡기하학(쌍곡삼각법)에서 삼각형의 넓이는 내각의 합이 180°에 미치지 못하는 정도, 또는 등가적으로 외각의 합이 360°에 미치지 못하는 정도(역)에 비례한다.

구면삼각형의 넓이는 그 초과량, 즉 내각의 합이 180°를 초과하는 양(지라르의 정리에 의해 외각의 합이 360° 미만인 양과 같다)에 비례한다.

반대로, 쌍곡삼각형의 넓이는 요한 하인리히 람베르트가 확립한 바와 같이 그 결함량, 즉 내각의 합이 180°에 미치지 못하는 양에 비례한다.

7. 2. 다면체

다면체의 데카르트의 정리(총 각 결함)는 조각별 선형적인 유추이다. 이 정리는 구면과 위상동형인 다면체의 모든 꼭짓점에서의 결함의 합이 4π임을 나타낸다. 더 일반적으로, 다면체의 오일러 지표가 χ = 2 − 2g인 경우 (여기서 g는 종수, 즉 "구멍의 수"이다), 결함의 합은 2πχ이다.

이는 곡률이 이산적인 점(꼭짓점)에 집중되는 가우스-보네 정리의 특수한 경우이다. 곡률을 함수가 아닌 측도로 생각하면, 데카르트의 정리는 곡률이 이산 측도인 가우스-보네 정리이며, 측도에 대한 가우스-보네 정리는 매끄러운 다양체에 대한 가우스-보네 정리와 데카르트의 정리를 모두 일반화한다.

8. 일반화

가우스-보네 정리는 짝수 차원 리만 다양체로 일반화될 수 있으며, 가우스-보네-첸 정리라고 불린다.^[16] 이 정리는 곡률로부터 결정되는 "오일러 형식"의 적분이 그 다양체의 오일러 지표와 일치한다는 형태로 기술된다. 1944년, 첸 싱선은 단 6페이지의 논문에서 가우스-보네-첸 정리를 증명했다.^[16] 첸은 더 나아가 이 증명의 아이디어를 발전시켜 첸-베이유 이론을 확립했다.

리만-로흐 정리는 가우스-보네 정리를 복소 다양체로 일반화한 것으로 볼 수 있다.

아티야-싱거 지표 정리는 가우스-보네-첸 정리, 히르체브루흐-리만-로흐 정리, 히르체브루흐 서명 정리의 일반화이다.

꼭 콤팩트할 필요는 없는 2차원 다양체로의 일반화는 콘-포센 부등식이다.

9. 응용

가우스-보네 정리는 특정 곡면의 오일러 지표를 계산하는 데 사용될 수 있다. 곡률의 부호와 오일러 지표 사이의 관계를 통해 곡면의 위상적 성질을 추론할 수 있다. 예를 들어, 양의 곡률을 갖는 닫힌 곡면은 구면과 위상동형이다.

그렉 이건(Greg Egan)의 소설 ''다이아스포라''에서는 두 등장인물이 이 정리의 유도에 대해 논의한다.

이 정리는 조각을 제어하는 시스템으로 직접 사용될 수 있다. 예를 들어, 아칸소 대학교 명예대학(University of Arkansas Honors College) 소장품에 있는 에드먼드 해리스(Edmund Harriss)의 작품에서 볼 수 있다.^[6]

참조

_[1] 인터뷰 Interview with Shiing-Shen Chern https://www.ams.org/[...] 1998-03-04
_[2] 서적 Riemannian geometry Birkhäuser 1992
_[3] 서적 Differential geometry of curves and surfaces Prentice-Hall 1976
_[4] 서적 The Shape of Space https://www.taylorfr[...] CRC Press 2001-12-12
_[5] 학술지 Digital topological method for computing genus and the Betti numbers 2010-08
_[6] 학술지 Gauss-Bonnet Sculpting http://archive.bridg[...] 2020-11-17
_[7] 문서 #小林77
_[8] 서적 Disquisitiones generales circa superficies curvas
_[9] 문서 #Wu
_[10] 학술지 Mémoire sur la thé orie géné rale des surfaces
_[11] 문서 #Tu
_[12] 문서 #Carmo
_[13] 문서 #Lee
_[14] 문서 #Carmo
_[15] 논문 Linear Time Recognition Algorithms for Topological Invariants in 3D arXiv:0804.1982
_[16] 문서 #Li
_[17] 문서 #Li

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